Question

18．已知$\frac{z-1}{z+1}$是纯虚数，则|z²-z+1|的最大值是[0，3）．

Answer 1

分析 设z=x+yi（x，y∈R），代入$\frac{z-1}{z+1}$，由$\frac{z-1}{z+1}$是纯虚数可得|z|=1，然后利用绝对值的不等式求得|z²-z+1|的取值范围．

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R），
则$\frac{z-1}{z+1}$=$\frac{x-1+yi}{x+1+yi}=\frac{（x-1+yi）（x+1-yi）}{（x+1+yi）（x+1-yi）}$=$\frac{（{x}^{2}+{y}^{2}-1）+2yi}{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
又$\frac{z-1}{z+1}$是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-1=0}\\{y≠0}\end{array}\right.$，则|z|=1，
∴|z²-z+1|=$|z（z+\overline{z}-1）|$=$|z|•|z+\overline{z}-1|$
=$|z+\overline{z}-1|$=|2x-1|＜3．
故答案为：[0，3）．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，训练了绝对值不等式的应用，是中档题．