Question

14．已知函数f（x）=-x²+ax（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的最大值和最小值；
（2）当函数f（x）在$（{\frac{1}{2}，2}）$单调时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=3代入f（x）的表达式，求出函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值即可；
（2）求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=3时，f（x）=-x²+3x=-${（x-\frac{3}{2}）}^{2}+\frac{9}{4}$，
对称轴x=$\frac{3}{2}$，函数在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）递增，在（$\frac{3}{2}$，2]递减，
∴函数的最大值是f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$，函数的最小值是f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
（2）函数的对称轴x=$\frac{a}{2}$，
若函数f（x）在$（{\frac{1}{2}，2}）$单调，
则$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$或$\frac{a}{2}$≥2，解得：a≤1或a≥4．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道基础题．