Question

18．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$与直线l：x-y+λ=0相切．
（1）求λ的值；
（2）设直线$m：x-y+4\sqrt{5}=0$，求椭圆上的点到直线m的最短距离．

Answer 1

分析 （1）联立直线和椭圆方程，消去y，由判别式为0，解方程可得所求值；
（2）运用直线和直线m平行，且与椭圆相切的直线，运用平行线的距离，即可得到最小值．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ x-y+λ=0\end{array}\right.$得：
5x²+8λx+4λ²-4=0，
由△=0即64λ²-20（4λ²-4）=0，
解得，λ=±$\sqrt{5}$；
（2）由直线l∥m，
可得两平行线的距离为d=$\frac{|4\sqrt{5}-\sqrt{5}|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
或$\frac{|4\sqrt{5}+\sqrt{5}|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{5\sqrt{10}}{2}$．
故椭圆上的点到直线m的最短距离为$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，考查椭圆上的点与直线最短距离的求法，考查运算能力，属于中档题．