Question

3．与椭圆$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$有相同的焦点，且一条渐近线方程是$y=\sqrt{3}x$的双曲线方程是（　　）

• A． ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$
• B． $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$
• C． $\frac{y^2}{3}-{x^2}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 求出双曲线方程的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由双曲线性质列出方程和，求出a，b，由此能求出双曲线方程．

解答 解：∵双曲线方程与椭圆$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$有相同的焦点，且一条渐近线方程是$y=\sqrt{3}x$，
∴双曲线方程的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由双曲线性质得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故选：D．

点评 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、双曲线性质的合理运用．