Question

20．已知A（-1，0）、B（2，1）、C（5，-8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为1．

Answer 1

分析 由已知三点坐标求出AB、AC的垂直平分线方程，求交点得到圆心坐标，进一步求得过A点的切线方程，再由点到直线的距离公式求得答案．

解答 解：∵A（-1，0）、B（2，1）、C（5，-8），
∴AB的中点坐标为（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），${k}_{AB}=\frac{1-0}{2-（-1）}=\frac{1}{3}$，
AB的垂直平分线方程为y$-\frac{1}{2}$=-3（x-$\frac{1}{2}$），即3x+y-2=0；
AC的中点坐标为（2，-4），${k}_{AC}=\frac{-8-0}{5-（-1）}=-\frac{4}{3}$，
AC的垂直平分线方程为$y+4=\frac{3}{4}（x-2）$，即3x-4y-22=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-2=0}\\{3x-4y-22=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}\right.$．
∴圆心坐标为M（2，-4），
则${k}_{MA}=\frac{-4-0}{2-（-1）}=-\frac{4}{3}$，
∴△ABC的外接圆在点A处的切线为l：$y=\frac{3}{4}（x+1）$，即3x-4y+3=0．
∴B（2，1）到直线l的距离d=$\frac{|3×2-4×1+3|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}=\frac{5}{5}=1$．
故答案为：1．

点评 本题考查圆的切线方程，考查了直线垂直与斜率间的关系，训练了直线方程的点斜式，考查点到直线的距离公式，是中档题．