Question

8．定义在（0，π）上的函数y=f（x）满足f′（x）＜f（x）•cotx，则下列不等式错误的是（　　）

• A． sin1•f（$\frac{1}{2}$）＞sin$\frac{1}{2}$•f（1）
• B． $\frac{1}{2}$•f（$\frac{1}{2}$）＞sin$\frac{1}{2}$•f（$\frac{π}{6}$）
• C． sin2•f（1）＞sin1•f（2）
• D． f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，求出g（x）的单调性，从而判断函数值的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{{sin}^{2}x}$，
由f′（x）＜f（x）•cotx得：f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，
∴g′（x）＜0在（0，π）恒成立，g（x）在（0，π）递减，
∴g（$\frac{1}{2}$）＞g（1），A正确，g（$\frac{1}{2}$）＞g（$\frac{π}{6}$），B正确，
g（1）＞g（2），C正确，g（$\frac{π}{3}$）＜g（$\frac{π}{6}$），D错误，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，求出g（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．