Question

18．已知{a_n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S_n．且S_n为a_n与$\frac{1}{{a}_{n}}$的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{（-1）}^{n}}{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过2S_n=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$计算出数列的前几项，进而猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）通过（1）分母有理化可知b_n=（-1）ⁿ（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$），进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵S_n为a_n与$\frac{1}{{a}_{n}}$的等差中项，
∴2S_n=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
当n=1时，易知a₁=1，
当n=2时，2+2a₂=a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$，
整理得：${{a}_{2}}^{2}$+2a₂-1=0，
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1或a₂=-$\sqrt{2}$-1（舍），
当n=3时，2$\sqrt{2}$+2a₃=a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$，
整理得：${{a}_{3}}^{2}$+2$\sqrt{2}$a₃-1=0，
解得：a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（舍），
…
猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k-1（k≥2）时成立，即a_k-1=$\sqrt{k-1}$-$\sqrt{k-2}$，
则2S_k=a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$，即2$\sqrt{k-1}$+a_k-$\frac{1}{{a}_{k}}$=0，
整理得：${{a}_{k}}^{2}$+2$\sqrt{k-1}$a_k-1=0，
解得：a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$或a_k=-$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$（舍），
即当n=k时结论也成立；
由①②可知a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{（-1）}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{（-1）^{n}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}$=（-1）ⁿ（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$），
当n为奇数时，T_n=-1+（$\sqrt{2}$+1）-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）+…+（$\sqrt{n-1}$+$\sqrt{n-2}$）-（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）
=-$\sqrt{n}$，
当n为偶数时，T_n=-1+（$\sqrt{2}$+1）-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）+…-（$\sqrt{n-1}$+$\sqrt{n-2}$）+（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）
=$\sqrt{n}$，
综上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{n}，n为奇数}\\{\sqrt{n}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．