Question

14．已知数列{α_n}，其前n项和为S_n，且a₁=$\frac{9}{2}$，S_n+S_n-1=2a_n（n≥2）．
（1）求证：数列{S_n}是等比数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3（n=1）}\\{n{a}_{n}（n≥2，n∈N*）}\end{array}\right.$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{9}{2}$，S_n+S_n-1=2a_n（n≥2），S_n+S_n-1=2（S_n-S_n-1），可得：S_n=3S_n-1．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：S_n，利用递推关系可得a_n．再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=$\frac{9}{2}$，S_n+S_n-1=2a_n（n≥2），
∴S_n+S_n-1=2（S_n-S_n-1），化为：S_n=3S_n-1．
∴数列{S_n}是等比数列，首项为$\frac{9}{2}$，公比为3．
（2）解：由（1）可得：S_n=$\frac{9}{2}×{3}^{n-1}$=$\frac{1}{2}×{3}^{n+1}$．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}×（{3}^{n+1}-{3}^{n}）$=3ⁿ．
∵数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3（n=1）}\\{n{a}_{n}（n≥2，n∈N*）}\end{array}\right.$，
∴b_n=n•3ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$（\frac{1}{2}-n）•{3}^{n+1}$-$\frac{3}{2}$，
∴S_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．