Question

3．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-bx，设h（x）=f（x）-g（x）．
（1）若g（2）=2，讨论函数h（x）的单调性；
（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x₁，x₂，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据g（2）=2，求出h（x）的表达式，求函数的导数，即可讨论函数h（x）的单调性．
（2）根据函数g（x）是关于x的一次函数，确定a=0，根据函数h（x）由两个不同的零点，即可得到结论．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-bx，
∴若g（2）=2，得a-b=1，即b=a-1，
∴h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+bx，定义域为（0，+∞），
h′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+b=$\frac{-a{x}^{2}+（a-1）x+1}{x}$=$\frac{（-ax-1）（x-1）}{x}$，
Ⅰ当a≥0时，h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．
Ⅱ当a＜0时，令h′（x）=0，得x=1，或x=-$\frac{1}{a}$，
①当a＜-1时，则0＜-$\frac{1}{a}$＜1，则函数h（x）在区间（0，-$\frac{1}{a}$）和（1，+∞）上单调递增，在区间（-$\frac{1}{a}$，1）上单调递减；
②当a=-1时，h′（x）＜0，则函数h（x）在区间（0，+∞）单调递减；
③当-1＜a＜0时，则-$\frac{1}{a}$＞1，则函数h（x）在区间（0，1）和（-$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增，在区间（1，-$\frac{1}{a}$） 上单调递减；
（2）∵函数g（x）是关于x的一次函数，
∴h（x）=lnx+bx，其定义域为（0，+∞），
由h（x）=0，得b=-$\frac{lnx}{x}$，
记φ（x）=-$\frac{lnx}{x}$，则φ′（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
∴φ（x）=-$\frac{lnx}{x}$在（0，e）单调减，在（e，+∞）但单调增，
∴当x=e时，φ（x）=-$\frac{lnx}{x}$ 取得最小值-$\frac{1}{e}$，
又φ（1）=0∴x∈（0，1）时，φ（x）＞0，而x∈（1，+∞）时，φ（x）＜0，
∴b的取值范围是（-$\frac{1}{e}$，0）．

点评 本题考查函数的求导由此来确定函数的单调区间及分类讨论a来确定导函数的正负．还有零点存在定理问题．