Question

5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，它的两个顶点恰好是双曲线y²-x²=1的两个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P（2，1），Q（2，-1）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，满足于∠APQ=∠BPQ，试求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由已知得椭圆的两个顶点坐标为$（0，\sqrt{2}），（0，-\sqrt{2}）$，由此得到b²=2，由离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得a²=8．由此能求出椭圆的方程．
（2）直线AP与直线BP的倾斜角互补，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k_AP=k，则有k_BP=-k，直线AP的方程y=k（x-2）+1，直线BP的方程y=-k（x-2）-1，由此分别把直线方程与椭圆方程联立，分别求出A、B的坐标，从而能求出直线AB的斜率．

解答 解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，它的两个顶点恰好是双曲线y²-x²=1的两个焦点．
双曲线y²-x²=1的焦点为$（0，\sqrt{2}），（0，-\sqrt{2}）$，
∴椭圆的两个顶点坐标为$（0，\sqrt{2}），（0，-\sqrt{2}）$，
由于椭圆的焦点在x轴上，∴b²=2，由于离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得a²=8．
由此可得椭圆的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）∵∠APQ=∠BPQ，∴直线AP与直线BP的倾斜角互补，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k_AP=k，则有k_BP=-k，
直线AP的方程y=k（x-2）+1，直线BP的方程y=-k（x-2）-1，
联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\\{y=k（x-2）+1}\end{array}}\right.$，化简得（1+4k²）x²+（8k-16k²）x+16k²-16k-4=0，
由于直线AP与椭圆的交点为A、P，∴$2{x_1}=\frac{{16{k^2}-16k-4}}{{1+4{k^2}}}$，
即${x_1}=\frac{{8{k^2}-8k-2}}{{1+4{k^2}}}$，代入直线方程AP得：${y_1}=\frac{{-4{k^2}-4k+1}}{{1+4{k^2}}}$，
A点的坐标为$（\frac{{8{k^2}-8k-2}}{{1+4{k^2}}}，\frac{{-4{k^2}-4k+1}}{{1+4{k^2}}}）$，
∴B点的坐标为$（\frac{{8{k^2}+8k-2}}{{1+4{k^2}}}，\frac{{-4{k^2}+4k+1}}{{1+4{k^2}}}）$，
∴${k_{AB}}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆、韦达定理、斜率公式等知识点的合理运用．