【题目】如图,在四棱锥中,底面是梯形,,,,.
(1)证明:平面平面;
(2)若与平面所成的角为,,求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)在中,由余弦定理得 ,根据勾股定理可证得,因为,所以平面,由面面垂直的判断定理可得平面平面;(2)取的中点,连接,,可得,根据面面垂直的性质定理可得平面,找到与平面所成的角,求得,,,根据线面平行可得到平面的距离即为点到平面的距离,在三棱锥中,根据等体积变换即可求得点到平面的距离.
试题解析:(1)在中,由余弦定理得,
因为,,所以 ,
所以,即,
又因为,,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)取的中点,连接,,因为,所以,由(Ⅰ)知平面平面,交线为,所以平面,
由,得,,,因为与平面所成的角为,所以,得,所以,,
因为∥,所以∥平面,故点到平面的距离即为点到平面的距离,
在三棱锥中,有,即,
求得,所以点到平面的距离为.
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【题目】如图1,线段的长度为,在线段上取两个点,使得,以为一边在线段的上方做一个正六边形,然后去掉线段,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:
记第个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为,现给出有关数列的四个命题:
①数列是等比赞列;
②数列是递增数列;
③存在最小的正数,使得对任意的正整数,都有;
④存在最大的正数,使得对任意的正整数,都有.
其中真命题的序号是__________. (请写出所有真命题的序号).
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【题目】定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
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【题目】已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx), =(﹣cosωx﹣sinωx,2 cosωx),设函数f(x)= +λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈( ,1)
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象经过点( ,0)求函数f(x)在区间[0, ]上的取值范围.
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【题目】北京某附属中学为了改善学生的住宿条件,决定在学校附近修建学生宿舍,学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元,已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为0.8万元.
(1)若学生宿舍建筑为层楼时,该楼房综合费用为万元,综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出的表达式;
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少万元?
【答案】(1);(2)学校应把楼层建成层,此时平均综合费用为每平方米万元
【解析】
由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元,得到第层楼房建筑费用,由楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高万元,然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用;
设楼房每平方米的平均综合费用为,则,然后利用基本不等式求最值.
解:由建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为万元,
且楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高万元,
可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为:万元.
建筑第1层楼房建筑费用为:万元.
楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:万元.
建筑第x层楼时,该楼房综合费用为:.
;
设该楼房每平方米的平均综合费用为,
则:,
当且仅当,即时,上式等号成立.
学校应把楼层建成10层,此时平均综合费用为每平方米万元.
【点睛】
本题考查简单的数学建模思想方法,训练了等差数列前n项和的求法,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;
(2)若,求的值域.
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【题目】五个人站成一排,求在下列条件下的不同排法种数:
(1)甲必须在排头;
(2)甲、乙相邻;
(3)甲不在排头,并且乙不在排尾;
(4)其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻
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【题目】为迎接月日的“全民健身日”,某大学学生会从全体男生中随机抽取名男生参加米中长跑测试,经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎,小数点的后一位数字为叶),如图,若跑步时间不高于秒,则称为“好体能”.
(Ⅰ) 写出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)要从这 人中随机选取人,求至少有人是“好体能”的概率;
(Ⅲ)以这 人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据,若从该校男生(人数众多)任取人,记表示抽到“好体能”学生的人数,求的分布列及数学期望.
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