【题目】已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx), =(﹣cosωx﹣sinωx,2 cosωx),设函数f(x)= +λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈( ,1)
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象经过点( ,0)求函数f(x)在区间[0, ]上的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)= +λ=(cosωx﹣sinωx)×(﹣cosωx﹣sinωx)+sinωx×2 cosωx+λ
=﹣(cos2ωx﹣sin2ωx)+ sin2ωx+λ
= sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin(2ωx﹣ )+λ
∵图象关于直线x=π对称,∴2πω﹣ = +kπ,k∈z
∴ω= + ,又ω∈( ,1)
∴k=1时,ω=
∴函数f(x)的最小正周期为 =
(2)解:∵f( )=0
∴2sin(2× × ﹣ )+λ=0
∴λ=﹣
∴f(x)=2sin( x﹣ )﹣
由x∈[0, ]
∴ x﹣ ∈[﹣ , ]
∴sin( x﹣ )∈[﹣ ,1]
∴2sin( x﹣ )﹣ =f(x)∈[﹣1﹣ ,2﹣ ]
故函数f(x)在区间[0, ]上的取值范围为[﹣1﹣ ,2﹣ ]
【解析】(1)先利用向量数量积运算性质,求函数f(x)的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f(x)化为y=Asin(ωx+φ)+k型函数,最后利用函数的对称性和ω的范围,计算ω的值,从而得函数的最小正周期;(2)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得λ的值,再求内层函数的值域,最后将内层函数看做整体,利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f(x)的值域.
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【题目】已知三点O(0,0),A(﹣2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足| + |= ( + )+2.
(1)求曲线C的方程;
(2)动点Q(x0 , y0)(﹣2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为直线l:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.
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【题目】某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为K(K为正整数).
(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数K的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
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【题目】已知,则_____.
【答案】
【解析】
分子分母同时除以,把目标式转为的表达式,代入可求.
,则
故答案为:.
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值,常用方法:(1)弦切互化法:主要利用公式, 形如等类型可进行弦化切;(2)“1”的灵活代换和的关系进行变形、转化.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】如图,正方体的棱长为1,为中点,连接,则异面直线和所成角的余弦值为_____.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的普通方程为. 在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为 .
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与轴和轴的交点分别为,为圆上的任意一点,求的取值范围.
【答案】(1);.
(2).
【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得两点的坐标, 设点,代入向量,利用三角函数的值域来求得取值范围.
【试题解析】
(Ⅰ)圆的参数方程为(为参数).
直线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)由直线的方程可得点,点.
设点,则 .
.
由(Ⅰ)知,则 .
因为,所以.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数, .
(Ⅰ)若对于任意, 都满足,求的值;
(Ⅱ)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知是定义在上的奇函数,且,对任意的且 时,有成立.
(1)判断在上的单调性,并用定义证明;
(2)解不等式;
(3)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的一个上界.已知函数,.
(1)若函数为奇函数,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在上是以5为上界的有界函数,求实数的取值范围.
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