Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和S_n，且满足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，求i值；
（3）是否存在常数k，使得数列{

Sn+kn

}为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的性质得到a₂+a₄=18，利用韦达定理得到a₂，a₄二次方程的两个根，求出两个根，利用等差数列的通项列出方程组，求出首项与公差，求出通项．
（2）利用（1）中求出的通项求出a₁，a_i，a₂₁，根据它们成等比数列；列出方程求出i的值．
（3）利用等差数列的前n项和公式求出S_n，假设存在k，使数列为等比数列，求出数列的前三项，前三项成等比数列，列出方程求出k的值．

解答：解：（1）解：{a_n}为等差数列，
∴a₁+a₅=a₂+a₄=18，
又a₂•a₄=65，∴a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的两个根
又公差d＞0，∴a₂＜a₄，∴a₂=5，a₄=13．
∴

a1+d=5 a1+3d=13

∴a₁=1，d=4
∴a_n=4n-3．（5分）
（2）由1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，∴a₁•a₂₁=a_i²，
即1×81=（4i-3）²，
解得i=3．
（3）由（1）知，Sn=n+

n(n-1)

2

×4=2n2-n，
假设存在常数k，使数列{

Sn+kn

}为等差数列，
由

S1+k

+

S3+3k

=2

S2+2K

，
得

1+k

+ 

15+3k

=2

6+2k

，
解得k=1．
∴

Sn+kn

= 

2n2

=

2

n此时有

2

n-

2

(n-1)=

2

，数列{

Sn+kn

}为等差数列．
所以存在常数k使得数列{

Sn+kn

}为等差数列．

点评：解决等差数列、等比数列问题时，常利用首项、公差、公比围绕通项公式及前n项和公式，列方程解；解决是否存在这种开放型的题目，一般假设存在去求，求出即存在．