Question

【题目】已知在点处的切线与直线平行．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）设．

（i）若函数在上恒成立，求的最大值；

（ii）当时，判断函数有几个零点，并给出证明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1；详见解析.

【解析】

Ⅰ求函数的导数，计算时的导数即可求出a的值；Ⅱ求的导数，讨论当和时的单调性，由单调性判断最值即可得到b的最大值；化简知0是的一个零点，利用构造函数法讨论和时，函数是否有零点，从而确定函数的零点情况．

解：Ⅰ函数，则，

由题意知时，，即a的值为1；

Ⅱ，

所以，

当时，若，则，，单调递增，所以；

当时，若，令，解得舍去，，

所以在内单调递减，，所以不恒成立，

所以b的最大值为1；

，显然有一个零点为0，

设，则；

当时，无零点，所以只有一个零点0；

当时，，所以在R上单调递增，

又，，

由零点存在性定理可知，在上有唯一一个零点，

所以有2个零点；

综上所述，时，只有一个零点，时，有2个零点．