Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF₁为半径作圆M，当圆M与直线l：x=

a2

c

有公共点时，求△MF₁F₂面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据焦距为2求出c的值，再由离心率为

1

2

可求出a的值，进而得到b的值写出椭圆方程．
（2）先设M的坐标为（x₀，y₀）根据题意满足

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，再表示出直线l的方程，因为圆M与l有公共点可得到M到l的距离4-x₀小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y₀²+10x₀-15≥0，再由则

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1消去y₀，求出x₀的取值范围，再表示出△MF₁F₂面积即可求出最大值．

解答：解：（1）因为2c=2，且

c

a

=

1

2

，所以c=1，a=2．
所以b²=3．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设点M的坐标为（x₀，y₀），
则

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．
因为F₁（-1，0），

a2

c

=4，
所以直线l的方程为x=4．
由于圆M与l有公共点，
所以M到l的距离4-x₀小于或等于圆的半径R．
因为R²=MF₁²=（x₀+1）²+y₀²，
所以（4-x₀）²≤（x₀+1）²+y₀²，
即y₀²+10x₀-15≥0．
又因为

y

2 0

=3(1-

x 2 0

4

)，
所以3-

3 x 2 0

4

+10x0-15≥0．
解得

4

3

≤x0≤12．又

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，∴

4

3

≤x0＜2
当x0=

4

3

时，|y0|=

15

3

，
所以(S△MF1F2)max=

1

2

×2×

15

3

=

15

3

．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习．