Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面BCE⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面BDE的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点，知

BE

=(-a，-a，a)，

BD

=(-a，-2a，0)，

BC

=(-a，0，0)，求出平面BDE的法向量为

n1

=（2，-1，1）．设平面BCE的法向量

n2

=(0，1，1)，利用向量法能够证明平面BCE⊥平面BDE．
（Ⅱ）设二面角E-BD-C的平面角为θ，由平面EBD的法向量

n1

 =（2，-1，1），平面BDC的法向量

n3

=（0，0，1），利用向量法能够求出二面角E-BD-C的大小．
（Ⅲ）由平面BDE的法向量

n1

 =（2，-1，1），

BC

=(-a，0，0)，利用向量法能够求出点C到平面BDE的距离．

解答：解：（Ⅰ）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁的长为a，
底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点，
∴B（a，2a，0），C（0，2a，0），E（0，a，a），D（0，0，0），

BE

=(-a，-a，a)，

BD

=(-a，-2a，0)，

BC

=(-a，0，0)，
设平面BDE的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），
则

BD

•

n1

=0，

BE

•

n1

=0，
∴

-ax1-2ay1=0 -ax1-ay1+az1=0

，
∴

n1

 =（2，-1，1）．
设平面BCE的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
则

BE

•

n2

=0，

BC

•

n2

=0 ，
∴

-ax2-ay2+az2=0 -ax2=0

，
∴

n2

=(0，1，1)，
∵

n1

•

n2

=0-1+1=0，
∴平面BCE⊥平面BDE．
（Ⅱ）设二面角E-BD-C的平面角为θ，
∵平面EBD的法向量

n1

 =（2，-1，1），平面BDC的法向量

n3

=（0，0，1），
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n3

＞|
=|

1

6 ×1

|=

6

6

．
∴二面角E-BD-C的大小为arccos

6

6

．
（Ⅲ）∵平面BDE的法向量

n1

 =（2，-1，1），

BC

=(-a，0，0)，
∴点C到平面BDE的距离d=

| BC • n1 |

| n1 |

=

|-2a|

6

=

6 a

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查点到平面的距离，解题时要认真审题，合理地建立空间直角坐标系，注意向量法的合理运用．