Question

（2012•房山区二模）如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为棱CD的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AED₁；
（Ⅱ）求证：平面AED₁⊥平面CDD₁．

Answer 1

分析：（I）根据线面平行的判定定理，先证线线平行，再由线线平行证明线面平行即可；
（II）先由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直即可．

解答：证明：（Ⅰ）连接A₁D，交AD₁与F，连接EF，
由已知四边形ADD₁A₁为矩形，∴F为AD₁的中点，
又E为CD的中点．∴EF为△AED₁的中位线．∴A₁C∥EF，
∵A₁C?平面AED₁，EF?平面AED₁，
∴A₁C∥平面AED₁；
（Ⅱ）由已知DD₁⊥AD，DD₁⊥BD，
又∵AD∩BD=D，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴DD₁⊥平面ABCD，∵AE?平面ABCD，∴AE⊥DD₁，
∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为棱CD的中点．∴AE⊥CD，
又CD∩DD₁=D，CD?平面CDD₁，DD₁?平面CDD₁，
∴AE⊥平面CDD₁C₁，
∵AE?平面AED₁，
∴平面AED₁⊥平面CDD₁．

点评：本题考查面面垂直的判定、线面平行的判定．