Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁=AB=2．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若四棱锥B-DAA₁C₁的体积为2，求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）证明AB₁∥平面BC₁D，可在平面BC₁D内找到一条与AB₁平行的直线，而D为AC中点，可联想连结B₁C，得到其中点O，由三角形的中位线定理可得要找的平行线，则问题得证；
（2）由给出的四棱锥的体积，求出BC的长度，过D作BC的垂线DF，再由F作FG垂直于BC₁，连结DG找出要求的二面角的平面角，然后通过解直角三角形得到二面角C-BC₁-D的正切值．

解答：（1）证明如图，

连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，∴OD为△AB₁C的中位线．∴OD∥AB₁．
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D；
（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC．
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA₁C₁C，
∵AA₁=AB=2，设BC=x，则AC=A1C1=

4+x2

，
BE=

2x

4+x2

，
∴四棱锥B-DAA₁C₁的体积V=

1

3

×

1

2

(A1C1+AD)•AA1•BE
=

1

3

×

1

2

(

4+x2

+

4+x2

2

)×2×

2x

4+x2

=2．
解得，x=2．
所以D与E重合．
取BC中点F，连结DF，过F作FG⊥BC₁与G，连结DG，
则∠DGF为二面角C-BC₁-D的平面角．
由△BCC₁∽△BGF可求得GF=

2

2

．
所以tan∠DGF=

DF

GF

=

1

2 2

=

2

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角平面角的常用方法，此题是中档题．