Question

设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则ab的取值范围是

1. A.
   （0，+∞）
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求ab的取值范围即可．
解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，
而6=2a+3b≥2?ab≤，当且仅当2a=3b时取等号．
又ab＞0，
则ab的取值范围是．
故选D．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．