Question

过点O（0，0）的圆C与直线y=2x-8相切于点P（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出圆的圆心坐标，求出圆的半径，即可求圆C的方程；
（2）求出点B关于直线l：x+y+2=0的对称点的坐标A，转化|PB|+|PQ|为|PA|+|PQ|，然后求解它的最小值．

解答：解．（1）由已知得圆C经过点P（4，0），
圆心在与y=2x-8垂直的直线y=-

1

2

x+2上，
它又在线段OP的中垂线x=2上，
所以

y=- 1 2 x+2 x=2

，
求得圆心C（2，1），半径为

5

，
所以圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5…（4分）
（2）求得点B（0，2）关于直线l：x+y+2=0的对称点A（-4，-2），
所以|PB|+|PQ|
=|PA|+|PQ|≥|AQ|≥|AC|-

5

=

(2+4)2+(1+2)2

=3

5

-

5

=2

5

，
所以|PB|+|PQ|的最小值是2

5

．…（9分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称知识的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．