Question

过点O（0，0）的圆C与直线y=2x-8相切于点P（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y=kx-1对称，且以MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x-8垂直的直线y=-

1

2

x+2上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为

5

，可得圆C的方程．
（2）假设存在两点M，N关于直线y=kx-1对称，则y=kx-1通过圆心C（2，1），求得k=1，设直线MN为y=-x+b，代入圆的方程，利用韦达定理及

OM

•

ON

=0，求得b的值，可得结论．

解答：解：（1）由已知得圆心经过点P（4，0）、
且与y=2x-8垂直的直线y=-

1

2

x+2上，
它又在线段OP的中垂线x=2上，所以求得圆心C（2，1），
半径为

5

，
所以圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．…（6分）
（2）假设存在两点M，N关于直线y=kx-1对称，
则y=kx-1通过圆心C（2，1），求得k=1，
所以设直线MN为y=-x+b，代入圆的方程得
2x²-（2b+2）x+b²-2b=0．
设M（x₁，-x₁+b），N（x₂，-x₂+b），
又

OM

•

ON

=x₁•x₂+（b-x₁）（b-x₂）=2x₁•x₂-b（x₁+x₂）=b²-3b=0，
解得b=0或b=3，这时△＞0，符合条件，
所以存在直线MN，它的方程为 y=-x，或y=-x+3符合条件．…（14分）

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，直线和圆相交的性质，属于中档题．