【题目】函数和
有相同的公切线,则实数a的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
分别求出导数,设出切点,得到切线的斜率,再由两点的斜率公式,结合切点满足曲线方程,运用导数求得单调区间、极值和最值,即可得到a的范围.
解:两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线,
y=x2﹣1的导数y′=2x,y=alnx﹣1的导数为y′,
设y=x2﹣1相切的切点为(n,n2﹣1)与曲线y=alnx﹣1相切的切点为(m,alnm﹣1),
y﹣(n2﹣1)=2n(x﹣n),即y=2nx﹣n2﹣1,
y﹣(alnm﹣1)(x﹣m),即:y
∴
∴,
∴
即有解即可,
令g(x)=x2(1﹣lnx),
y′=2x(1﹣lnx)x(1﹣2lnx)=0,可得x
,
∴g(x)在(0,)是增函数;(
,+∞)是减函数,
g(x)的最大值为:g()
,
又g(0)=0,
∴,∴a≤2e.
故答案为:(﹣∞,2e].
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【题目】甲乙两个班级均为 40 人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格与不及格进行统计,甲班及格人数为 36 人,乙班及格人数为 24 人.
(1)根据以上数据建立一个22的列联表;
(2)试判断是否成绩与班级是否有关?
参考公式:;
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
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【题目】已知动圆过定点
且与
轴相切,点
关于圆心
的对称点为
,点
的轨迹为
.
(1)求曲线的方程;
(2)一条直线经过点,且交曲线
于
、
两点,点
为直线
上的动点.
①求证:不可能是钝角;
②是否存在这样的点,使得
是正三角形?若存在,求点
的坐标:否则,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点
,过动点
作直线
的垂线,垂足为
,且
.记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线
交曲线
于不同的两点
,
.
①若为线段
的中点,求直线
的方程;
②设关于
轴的对称点为
,求
面积
的取值范围.
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【题目】设函数,过点
作
轴的垂线
交函数
图象于点
,以
为切点作函数
图象的切线交
轴于点
,再过
作
轴的垂线
交函数
图象于点
,
,以此类推得点
,记
的横坐标为
,
.
(1)证明数列为等比数列并求出通项公式;
(2)设直线与函数
的图象相交于点
,记
(其中
为坐标原点),求数列
的前
项和
.
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【题目】十五巧板,又称益智图,为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明,它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形(如图1),其中标号为的小板为等腰直角三角形,图
是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案,则从生肖猪图案中任取一点,该点恰好取自阴影部分的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】一个口袋中装有大小形状完全相同的个乒乓球,其中1个乒乓球上标有数字1,2个乒乓球上标有数字2,其余
个乒乓球上均标有数字3
,若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球,恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是
.
(1)求的值;
(2)从口袋中随机地摸出2个乒乓球,设表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之积,求
的分布列和数学期望
.
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