Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线交曲线于不同的两点，.

①若为线段的中点，求直线的方程；

②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）①.②

【解析】

（1）设，利用直接法求曲线的方程；

（2）①由已知，分析可知直线的斜率存在且不为零，设，联立抛物线方程，利用韦达定理解决；②将用直线的斜率表示，即，再结合的范围即可解决.

（1）设，则．

因为，所以，

因为，所以，即.

所以曲线的方程为.

（2）①若直线的斜率不存在，则与曲线无公共点，因此的斜率存在；

若的斜率为0，则与曲线只有一个公共点，因此的斜率不为0.

设，

由得，于是，解得且．

设，，则.

因为为线段的中点，所以．

又，所以，

因此，所以，符合且，

于是，此时直线的方程为.

②因为点，关于轴对称，所以，

于是点到直线的距离为.

因为，所以.

又，

所以.

因为，所以.

又因为且，因此，

即面积的取值范围为.