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【题目】已知是函数的极值点.

(Ⅰ)求实数的值;

(Ⅱ)求证:函数存在唯一的极小值点,且.

(参考数据:

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明

【解析】

(Ⅰ)根据求得;通过导数验证函数的单调性,可知时极值点为,满足题意;(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知极小值点位于,此时的零点,且此时为极小值点,代入得到关于的二次函数,求解二次函数值域即可证得结论.

(Ⅰ)因为,且是极值点

所以,所以

此时

,则

则当时,为减函数

时,,则为增函数

时,,则为减函数

此时的极大值点,符合题意

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,时,不存在极小值点

时,为增函数,且

所以存在

结合(Ⅰ)可知当时,为减函数; 时,为增函数,所以函数存在唯一的极小值点

,所以

且满足 .

所以

由二次函数图象可知:

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