Question

如图，AB为圆O的直径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB于C，交圆O于D点，PA交圆O于E点，BE交PC于F点．
（Ⅰ）求证：∠P=∠ABE；
（Ⅱ）求证：CD²=CF•CP．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）在Rt△ACP中，∠P=90°-∠PAB；在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠PAB，即可证明：∠P=∠ABE；
（Ⅱ）证明△BCF∽△PCA，即可证明CD²=CF•CP．

解答： 证明：（Ⅰ）∠AEB=∠ACP=90°，∴在Rt△ACP中，∠P=90°-∠PAB；
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠PAB，∴∠P=∠ABE．…．（5分）
（Ⅱ）在Rt△ADB中，CD²=AC•CB，由①得△BCF∽△PCA，∴

BC

PC

=

CF

AC

，
∴CD²=BC•AC=CF•CP，∴CD²=CF•CP．….10分

点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的判定，属于中档题．