Question

如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，SA=SB=SC=4，平面DEFH分别与三棱锥S-ABC的四条棱AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，若直线SB∥平面DEFH，直线AC∥平面DEFH，则平面DEFH与平面SAC所成的二面角（锐角）的余弦值等于

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：取AC的中点O，连结连结OB，交DE于N，连结SO，交HF于M，由已知条件推导出∠NMO为平面DEFH与平面SAC所成角的平面角，由此能求出结果．

解答： 解：∵D、E、F、H分别是AB、BC、SA、SC的中点，
∴DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB．EF∥SB，
则四边形DEFH是平行四边形，
∵SA=SB=SC=4，△ABC是边长为2的正三角形，
且HD=EF=

1

2

SB=2，DE=HF=

1

2

AC=1，
取AC的中点O，连结OB，交DE于N，连结SO，交HF于M，
∵SA=SC=SB=4，AB=BC=AC=2，
∴AC⊥SO，AC⊥OB，
∵S0∩OB=O，
∴AO⊥平面SOB，
∵HF∥AO，∴HF⊥平面MON，
∴MO⊥HF，MN⊥HF，
∵平面DEFH∩平面SAC=HF，
∴∠NMO为平面DEFH与平面SAC所成角的平面角，
∵MN=

1

2

SB=2，MO=

1

2

SO=

1

2

16-1

=

15

2

，
NO=

1

2

OB=

1

2

4-1

=

3

2

，
∴cos∠NMO=

15 4 +4- 3 4

2× 15 2 ×2

=

7 15

30

．
故答案为：

7 15

30

．

点评：本题考查二面角的余弦值值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．