Question

7．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：

统计量  组别	平均成绩	标准差
第一组	90	6
第二组	80	4

求全班学生的平均成绩和标准差．

Answer 1

分析 因为是平均分组，所以全班学生的平均值是两组学生平均值的平均，标准差计算时要分开算出每组学生对全班平均值的差的平方和，再求标准差．

解答 解：∵某班40人随机平均分成两组，
两个组的平均成绩分别是80，90．
∴全班的平均成绩是：$\frac{80×20+90×20}{40}$=85，
由已知$\frac{1}{20}$$\sum_{1}^{20}$（x_i-90）²=36，即$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-90）²=720，
即$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85-5）²=720，即$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）²-10$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）+500=720
$\frac{1}{20}$$\sum_{i=1}^{20}$（x_j-80）²=16，即$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85+5）²=320，即$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）²+10$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）+500=320，
故$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）²+$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）²-10$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）+10$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）+1000=1040，
故$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）²+$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）²-10$\sum_{i=1}^{20}$x_i+10$\sum_{j=1}^{20}$x_j+1000=2040
故$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）²+$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）²=2040
故$\sum_{i=1}^{40}$（x_i-85）²=2040
∴S=$\sqrt{\frac{1}{40}×2040}$=$\sqrt{51}$．
∴全班学生的平均成绩为85，标准差为$\sqrt{51}$．

点评 本题考点是方差与标准差，本题属于变换求标准差的题型，关键是厘清相关数据之间的关系，达到用已知表示未知的目的，请认真体会本题的转化方法，其本质是作了一系列的恒等变形．