Question

已知函数f（x）=lnx+ax²+x．
（1）若f（x）在（0，+∞）是增函数，求a的取值范围；
（2）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞x₁，直线AB的斜率为k，记N（u，0），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），若，求证：f′（u）＜k．

Answer 1

（1）解：求导函数可得：（x＞0）
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴
∴2ax²+x+1＞0
∴
∵x＞0，∴
∴a≥0；
（2）证明：∵A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），∴k==
∵N（u，0），
∴x₂-x₁=λ（u-x₁）
∴
∴f′（u）=
∴f′（u）-k=
∵a＜0，x₂＞x₁，1≤λ≤2
∴≤0
∴要证f′（u）＜k，只要证＜0
即＜0
设，则=，显然t＞1
令g（t）=，则g′（t）=
记T（t）=-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²，对称轴为t=
∵1≤λ≤2，
∴函数在（1，+∞）上单调递减，
∵T（1）=0，∴，t＞1时，T（t）＜0恒成立
即-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²＜0恒成立
∵t（t+λ-1）²＞0
∴g′（t）＜0
∴g（t）＜g（1）=0
∴f′（u）＜k．
分析：（1）求导函数，利用f（x）在（0，+∞）是增函数，可得，进而分离参数，即可求得a的取值范围；
（2）先求得k==，由N（u，0），，求得，进而可得f′（u）-k的表达式，要证f′（u）＜k，只要证＜0，利用换元，构造新函数，即可证得．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查不等式的证明，构造函数，正确求导是关键．