Question

某市环境研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[0，]．若用每天f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（Ⅰ）令，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数M（a）；
（Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合环境污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

Answer 1

解：（Ⅰ），． 　…
（Ⅱ）令．
当时，． …
当时，． …
M（a）=…
（Ⅲ）当时，M（a）是增函数，…
当时，M（a）是增函数，．…
所以，市中心污染指数没有超标 …
分析：（I）根据x的取值范围求出的取值范围，最后根据正弦函数的性质从而可求出t的取值范围；
（Ⅱ）由（I）化简f（x）的解析式，讨论a的范围，去掉绝对值，从而求出函数M（a）；
（Ⅲ）根据分段函数，分别研究每段上的最大值，然后与2进行比较，从而确定是否超标．
点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，以及利用单调性求最值，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．