Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀．则称x₀为函数f（x）的一个不动点．比如函数h（x）=ln（1+x）有唯一不动点x=0，现已知函数f(x)=

x2+a

bx-c

有且仅有两个不动点0和2．
（Ⅰ）试求b与c的关系式；
（Ⅱ）若c=2，各项不为0的数列{a_n}满足4Sn•f(

1

an

)=1，其中S_n为{a_n}的前n项和，试求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=-

1

an

，Tn为数列{bn}的前n项和．记A=T₂₀₀₉，B=ln2010，C=T₂₀₁₀-1，试比较A，B，C的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x=

x2+a

bx-c

得，（b-1）x²-cx-a=0．由题设知x=0，x=2为该方程的两个根．由此能求出求b与c的关系式．
（Ⅱ）若c=2，则b=2．所以f（x）=

x2

2x-2

．又由4Sn•f(

1

an

)=1得：a_n+1+a_n=0或a_n-a_n+1=1，故a_n+1-a_n=-1，由此能求出a_n．
（Ⅲ）由b_n=-

1

an

=

1

n

，知T_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，构造函数φ（x）=ln（1+x）-x（x＞0），证明不等式

1

n+1

＜ln(1+

1

n

)＜

1

n

．由此能够得到T₂₀₁₀-1＜ln2010＜T₂₀₀₉，即C＜B＜A．

解答：解：（Ⅰ）由x=

x2+a

bx-c

得，
（b-1）x²-cx-a=0．
由题设知x=0，x=2为该方程的两个根．
∴a=0，0+2=

c

b-1

，
即：2b-c=2且c≠0．…（2分）
（Ⅱ）若c=2，则b=2．
∴f（x）=

x2

2x-2

．又由4Sn•f(

1

an

)=1得：
4S_n•

( 1 an )2

2( 1 an )-2

=1⇒2Sn=an-a_n²，…①，
又由2S_n+1=a_n+1-a_n+1²…②
②式-①式可得：2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，
∴（a_n+1+a_n）•（a_n-a_n+1-1）=0，
∴a_n+1+a_n=0或a_n-a_n+1=1．…（4分）
当n=1时，有2a₁=a₁-a₁²，
得a₁=0（舍）或a₁=-1．
当a_n+a_n+1=0时，a₂=1．
但a₂=1不在函数f（x）=

x2

2x-2

的定义域内，
∴a_n+a_n+1≠0．…（6分）
故a_n+1-a_n=-1，
即{a_n}为等差数列，
∴a_n=-n．…（7分）
（Ⅲ）∵b_n=-

1

an

=

1

n

，
∴T_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
以下首先证明不等式

1

n+1

＜ln(1+

1

n

)＜

1

n

．…（8分）
事实上要证ln(1+

1

n

)＜

1

n

，
可构造函数φ（x）=ln（1+x）-x（x＞0），
则?′（x）=

1

1+x

-1＜0对一切x＞0恒成立，
∴?（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴φ（x）＜φ（0）=0，
即：ln（1+x）-x＜0，
也即：ln（1+x）＜x，
我们取x=

1

n

，
∴ln(1+

1

n

)＜

1

n

．…（9分）
另一方面我们又设函数g（x）=

x

1+x

-ln（1+x）（x＞0），
则g′（x）=

(1+x)-x

(1+x)2

-

1

1+x

=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0．
故g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）=0，
即

x

1+x

＜ln（1+x）（x＞0）．
我们取x=

1

n

，
∴

1 n

1+ 1 n

＜ln(1+

1

n

)⇒

1

n+1

＜ln(1+

1

n

)．…(12分)
综上：

1

n+1

＜ln(1+

1

n

)＜

1

n

，即

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，也即：

1

n+1

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

，
分别令n=1，2，3，…，2009得：

1 2 ＜ln2-ln1＜ 1 1 ， 1 3 ＜ln3-ln2＜ 1 2 ， 1 4 ＜ln4-ln3＜ 1 3 ， … 1 2010 ＜ln2010-ln2009＜ 1 2009 ，…(13分)

将这2009个式子累加得：T₂₀₁₀-1＜ln2010＜T₂₀₀₉，即C＜B＜A…（14分）．

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意合理地构造函数简化运算．