Question

19．（1）已知如图1平面α，β，γ和直线l，若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，求证：l⊥γ；
（2）已知如图2平面α和β，直线l和α，且α∩β=l，若a∥α，a∥β，求证：a∥l．

Answer 1

分析 （1）在平面内γ任取一点P，过点P作PA⊥l₁，PB⊥l₂，A，B为垂足，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质与判定即可证明；
（2）利用线面平行的性质定理及平行公理即可得出结论．

解答 证明：（1）如图，在平面内γ任取一点P，过点P作PA⊥l₁，PB⊥l₂，A，B为垂足，…（1分）
∵α∩γ=l₁，α⊥γ，PA?γ，∴PA⊥α
又∵l?α，∴PA⊥l…（3分）
同理：PB⊥l…（5分）
∴l⊥γ…（6分）

（2）过直线a作平面γ₁，γ₂使得α∩γ₁=l₁，β∩γ₂=l₂…（1分）
∵a∥α，α∩γ₁=l₁，a?γ₁，∴a∥l₁…（3分）
同理a∥l₂，∴l₁∥l₂，
又l₁?α，l₂?β，∴l₁∥β，∴l₁∥l…（5分）
∴a∥l…（6分）

点评 本题考查线面平行的性质定理及平行公理、考查平面与平面垂直的性质、线面垂直的性质与判定，属于中档题．