【题目】已知,函数
.
(Ⅰ)当时,解不等式
;
(Ⅱ)若关于的方程
的解集中恰有一个元素,求
的取值范围;
(Ⅲ)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的和不大于
,求
的取值范围.
【答案】(1) 解集为;(2)
或
;(3)
的取值范围是
.
【解析】试题分析:
(1)根据题意将不等式化为指数不等式求解.(2)由题意可得方程只有一个解,即
只有一解,令
,则
上只有一解,分离参数后并结合图象求解即可.(3)先征得函数
在定义域内单调递减,从而可得
在区间
上的最大值、最小值,由题意得
恒成立,整理得
恒成立.令
,可得
恒成立,求得函数
在
上的最大值后解不等式可得
的范围.
试题解析:
(1)当时,
,
∴,
整理得,解得
.
∴原不等式的解集为.
(2)方程,
即为,
∴,
∴,
令,则
,
由题意得方程在
上只有一解,
令,
,
结合图象可得,当或
时,直线
的图象只有一个公共点,即方程只有一个解.
∴实数的范围为
.
(3)∵函数在
上单调递减,
∴函数在定义域内单调递减,
∴函数在区间
上的最大值为
,最小值为
,
∴
由题意得,
∴恒成立,
令,
∴恒成立,
∵在
上单调递增,
∴
∴,
解得,
又,
∴.
∴实数的取值范围是
.
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【题目】如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
平面
,点
,
分别为
,
的中点,且
,
.
(1)证明: 平面
;
(2)设直线与平面
所成角为
,当
在
内变化时,求二面角
的取值范围.
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【题目】如图,设椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 点D在椭圆上.DF1⊥F1F2 ,
=2
,△DF1F2的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
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【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①双曲线与椭圆
有相同的焦点;
②在平面内,设为两个定点,
为动点,且
,其中常数
为正实数,则动点
的轨迹为椭圆;
③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④过双曲线的右焦点
作直线
交双曲线于
两点,若
,则这样的直线
有且仅有3条.其中真命题的序号为__________.
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【题目】已知被直线
,
分成面积相等的四个部分,且截
轴所得线段的长为2.
(1)求的方程;
(2)若存在过点的直线与
相交于
,
两点,且点
恰好是线段
的中点,求实数
的取值范围.
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【题目】下列说法中不正确的是( )
A. 两直线的斜率存在时,它们垂直的等价条件是其斜率之积为-1
B. 如果方程Ax+By+C=0表示的直线是y轴,那么系数A,B,C满足A≠0,B=C=0
C. Ax+By+C=0和2Ax+2By+C+1=0表示两条平行直线的等价条件是A2+B2≠0且C≠1
D. 与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程可设为Bx+Ay+m=0(m为参数)
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