【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
平面
,点
,
分别为
,
的中点,且
,
.
(1)证明: 平面
;
(2)设直线与平面
所成角为
,当
在
内变化时,求二面角
的取值范围.
【答案】(1) 见解析;(2) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据直线与平面平行的判定定理,需在平面内找一条与
平行的直线.结合题设可取取
中点
,连接
, 易得四边形
为平行四边形,从而得
,问题得证.
(Ⅱ)思路一、首先作出二面角的平面角,即过棱BC上一点分别在两个平面内作棱BC的垂线.因为,点
分别为
的中点,则
.连接
,因为
平面
,所以AM是PM在面ABC内的射影,所以
,所以
即为二面角
的平面角.再作出直线
与平面
所成的角,即作出AC在平面PBC内的射影.由
,
且
得
平面
,从而平面
平面
.过点
在平面
内作
于
,根据面面垂直的性质知
平面
.连接
,于是
就是直线
与平面
所成的角.在
及
中,找出
与
的关系,即可根据
的范围求出
的范围. 思路二、以
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量亦可求解.
试题解析:(Ⅰ)证明:取中点
,连接
,
因为点分别为
的中点,所以
四边形为平行四边形,则
又
平面
,
平面
所以平面
.
(Ⅱ)解法1:连接,因为
,点
分别为
的中点,则
又平面
,则
所以
即为二面角
的平面角
又,所以
平面
,则平面
平面
过点在平面
内作
于
,则
平面
.
连接,于是
就是直线
与平面
所成的角,即
=
.
在中,
;
在中,
,
.
,
,
.
又,
.
即二面角取值范围为
.
解法2:连接,因为
,点
分别为
的中点,则
又平面
,则
所以
即为二面角
的平面角,设为
以所在的直线分别为
轴、
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
于是, ,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则由.
得
可取,又
,
于是,
,
,
.
又,
.
即二面角取值范围为
.
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【题目】已知椭圆:
的离心率
,过椭圆的上顶点
和右顶点
的直线与原点
的距离为
,
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线经过椭圆左焦点与椭圆
交于
,
两点,使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
?若存在,求出直线
方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】某学校1800名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,抽取其中50名学生组成一个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组,第二组
……,第五组
,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)请估计学校1800名学生中,成绩属于第四组的人数;
(2)若成绩小于15秒认为良好,求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数;
(3)请根据频率分布直方图,求样本数据的众数、平均数.
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【题目】下列说法:①第二象限角比第一象限角大;②设是第二象限角,则
;③三角形的内角是第一象限角或第二象限角;④函数
是最小正周期为
的周期函数;⑤在△ABC中,若
,则A>B.其中正确的是___________ (写出所有正确说法的序号)
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【题目】双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.
(1)若l的倾斜角为 ,
是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设 ,若l的斜率存在,且|AB|=4,求l的斜率.
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【题目】用另一种形式表示下列集合:
(1){绝对值不大于3的整数};
(2){所有被3整除的数};
(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};
(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}.
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【题目】已知,函数
.
(Ⅰ)当时,解不等式
;
(Ⅱ)若关于的方程
的解集中恰有一个元素,求
的取值范围;
(Ⅲ)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的和不大于
,求
的取值范围.
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【题目】已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为,右焦点
,双曲线的实轴为
,
为双曲线上一点(不同于
,
),直线
,
分别与直线
交于
,
两点.
()求双曲线的方程.
()证明
为定值.
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【题目】某市场调查发现,某种产品在投放市场的30天中,其销售价格P(元)和时间t(天)(t∈N)的关系如图所示
(1)写出销售价格P(元)和时间t(天)的函数解析式;
(2)若日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=﹣t+40(0≤t≤30,t∈N),求该商品的日销售金额y(元)与时间t(天)的函数解析式;
(3)问该产品投放市场第几天时,日销售金额最高?最高值为多少元?
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