【题目】已知椭圆:
的离心率
,过椭圆的上顶点
和右顶点
的直线与原点
的距离为
,
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线经过椭圆左焦点与椭圆
交于
,
两点,使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
?若存在,求出直线
方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
,或
.
【解析】试题分析:(1)由题意,根据离心率定义得到与
的关系式,再由点
求出直线
的方程,根据点到直线距离公式,得到
与
的关系式,再结合
,从而得出椭圆方程;(2)根据题意,可将直线
斜率存在与否进行分类讨论,由“线段
为直径”,得
,再利用向量数量积的坐标运算,从而解决问题.
试题解析:(1)由已知得,因为过椭圆的上顶点
和右顶点
的直线与原点的距离为
,所以
,解得
故所求椭圆的方程:
(2)椭圆左焦点
,
①当直线斜率不存在时,直线
与椭圆
交于
两点,显然不存在满足条件的直线.………6分
②当直线斜率存在时,设直线
联立,消
得,
由于直线经过椭圆
左焦点,所以直线
必定与椭圆
有两个交点,
恒成立
设则
,
若以为直径的圆过
点,则
,即
(*)
而,代入(*)式得,
即,解得
,
即或
.
所以存在或
使得以线段MN为直径的圆过原点
.
故所求的直线方程为,或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 =l (a>b>0)的焦距为2,离心率为
,椭圆的右顶点为A.
(1)求该椭圆的方程:
(2)过点D( ,﹣
)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的
斜率之和为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,过点
的平面与棱
,
,
分别交于点
,
,
(
,
,
三点均不在棱的端点处).
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若平面
,求
的值;
(Ⅲ)直线是否可能与平面
平行?证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某工厂和
两车间工人掌握某技术情况,现从这两车间工人中分别抽查
名和
名工人,经测试,将这
名工人的测试成绩编成的茎叶图。若成绩在
以上(包括
)定义为“良好”,成绩在
以下定义为“合格”。已知
车间工人的成绩的平均数为
,
车间工人的成绩的中位数为
.
(1)求,
的值;
(2)求车间工人的成绩的方差;
(3)在这名工人中,用分层抽样的方法从 “良好”和“及格”中抽取
人,再从这
人中选
人,求至少有一人为“良好”的概率。
(参考公式:方差)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
经过
,且椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设斜率存在的直线与椭圆
交于
两点,
为坐标原点,
,且
与圆心为
的定圆
相切.直线
:
(
)与圆
交于
两点,
.求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
平面
,点
,
分别为
,
的中点,且
,
.
(1)证明: 平面
;
(2)设直线与平面
所成角为
,当
在
内变化时,求二面角
的取值范围.
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