Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 =l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为 ，椭圆的右顶点为A．

（1）求该椭圆的方程：
（2）过点D（ ，﹣ ）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的
斜率之和为定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知：椭圆 =l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，

椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2﹣c2=1，

则椭圆的标准方程：

（2）

解：证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（ ，0），

由题意PQ的方程：y=k（x﹣ ）﹣ ，

则 ，整理得：（2k2+1）x2﹣（4 k2+4 k）x+4k2+8k+2=0，

由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

则y1+y2=k（x1+x2）﹣2 k﹣2 = ，

则kAP+kAQ= + = ，

由y1x2+y2x1=[k（x1﹣ ）﹣ ]x2+[k（x2﹣ ）﹣ ]x1=2kx1x2﹣（ k+ ）（x1+x2）=﹣ ，

kAP+kAQ= = =1，

∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．

【解析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e= ，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣ ）﹣ ，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．