【题目】己知n为正整数,数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,设数列{bn}满足bn=
(1)求证:数列{ }为等比数列;
(2)若数列{bn}是等差数列,求实数t的值:
(3)若数列{bn}是等差数列,前n项和为Sn , 对任意的n∈N* , 均存在m∈N* , 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求满足条件的所有整数a1的值.
【答案】
(1)证明:数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,
∴ =
an+1,即
=2
,
∴数列{ }是以a1为首项,以2为公比的等比数列
(2)解:由(1)可得: =
,∴
=n
4n﹣1.
∵bn= ,∴b1=
,b2=
,b3=
,
∵数列{bn}是等差数列,∴2× =
+
,
∴ =
+
,
化为:16t=t2+48,解得t=12或4
(3)解:数列{bn}是等差数列,由(2)可得:t=12或4.
①t=12时,bn= =
,Sn=
,
∵对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,
∴8 ×
﹣a14n2=16×
,
∴
=
,n=1时,化为:﹣
=
>0,无解,舍去.
②t=4时,bn= =
,Sn=
,
对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,
∴8 ×
﹣a14n2=16×
,
∴n =4m,
∴a1=2 .∵a1为正整数,∴
=
k,k∈N*.
∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ,n∈N*,m∈N*,且
=
k,k∈N*}
【解析】(1)数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,化为: =2×
,即可证明.(2)由(1)可得:
=
,可得
=n
4n﹣1 . 数列{bn}满足bn=
,可得b1 , b2 , b3 , 利用数列{bn}是等差数列即可得出t.(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值,化简8a12Sn﹣a14n2=16bm , 即可得出a1 .
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【题目】已知双曲线:
的左右焦点分别为
、
,
为
右支上的点,线段
交
的左支于点
,若
是边长等于
的等边三角形,则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
即双曲线的标准方程为
,选A.
【题型】单选题
【结束】
11
【题目】张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件,已知原球形工件的半径为,则张师傅的材料利用率的最大值等于(注:材料利用率=
)( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 =l (a>b>0)的焦距为2,离心率为
,椭圆的右顶点为A.
(1)求该椭圆的方程:
(2)过点D( ,﹣
)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的
斜率之和为定值.
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【题目】已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[
],并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值.
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【题目】已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2, .
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
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