Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对求导，对通分，求函数的定义域，讨论的两个根和2的大小关系，分、、、四种情况进行讨论，利用， 求函数的单调区间；第二问，先将已知转化为在上有，由已知， ，下面关键是求，令即可求出a的取值范围.

试题解析： .

（1）.

①当时， ， ，在区间（0,2）上， 在区间上，故的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是.

②当时， ，在区间（0,2）和上， ；在区间上，故的单调递增区间是（0,2）和，单调递减区间是.

③当时， ，故的单调递增区间是.

④当时， ，在区间和上， ；在区间上， ，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（2）由已知，在上有.

由已知， ，由（2）可知，

①当时， 在上单调递增，

故，

所以， ，解得，

故.

②当时， 在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知， ， ，

所以， ， ，

综上所述， .