Question

【题目】已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（ ）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（ ）=﹣ ，α∈（ ，π），求sin（α+ ）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（ ）=﹣（a+1）sinθ=0，

∵θ∈（0，π）．

∴sinθ≠0，

∴a+1=0，即a=﹣1

∵f（x）为奇函数，

∴f（0）=（a+2）cosθ=0，

∴cosθ=0，θ=

（2）解：由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+ ）=cos2x（﹣sin2x）=﹣ ，

∴f（ ）=﹣ sinα=﹣ ，

∴sinα= ，

∵α∈（ ，π），

∴cosα= =﹣ ，

∴sin（α+ ）=sinαcos +cosαsin =

【解析】（1）把x= 代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（ ）=﹣ 和函数的解析式可求得sin ，进而求得cos ，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．