Question

【题目】已知函数的定义域为D，且同时满足以下条件：

①在D上是单调递增或单调递减函数；

②存在闭区间 D(其中)，使得当时，的取值集合也是．那么，我们称函数 ()是闭函数．

(1)判断是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．

(2)若是闭函数，求实数的取值范围．

（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）

Answer 1

【答案】（1）是闭函数，存在区间 （2）

【解析】

(1)由题意结合函数的单调性得到区间端点的方程组，求解方程组即可确定满足题意的区间；

(2)由题意利用换元法将原问题转化为函数存在两个不相等的非负实根的问题，据此得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.

(1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；

设存在区间，f(x)的取值集合也是，则，

解得a＝－1，b＝1，所以存在区间[－1,1]满足②，

使得f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数.

(2) 是在[－2，＋∞)上的增函数，

由题意知，是闭函数，存在区间满足②

即：.即a，b是方程的两根，

令 ，方程可变形为，该方程存在两相异实根满足

，，解得，

所以实数的取值范围是.