Question

【题目】已知三棱锥中，顶点在底面的射影为.给出下列命题：

①若、、两两互相垂直，则为的垂心；

②若、、两两互相垂直，则有可能为钝角三角形；

③若，且与重合，则三棱锥的各个面都是直角三角形；

④若，且为边的中点，则.

其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】分析：利用线面垂直的判定与性质定理逐一判断即可.

详解：

若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，①正确；

若、、两两互相垂直，P在底面是射影H在△ABC的内部，是三角形ABC的垂心，所以不可能是钝角三角形，②不正确；

若与重合则PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，

又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，

故四个面都是直角三角形，③正确；

当PH⊥平面ABC时，PA2=PH2+HA2，

PB2=PH2+BH2，PC2=PH2+CH2，

因为H是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BH=AH=CH，

故PA=PB=PC，故④正确；