Question

【题目】已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，

则 =8 = ，

故 ，

由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．

则 = ，

故

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=

（2）解：由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，

故矩阵M的另一个特征值为2

【解析】（1）先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．