Question

【题目】已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于，），直线，分别与直线交于，两点．

（）求双曲线的方程．

（）证明为定值．

Answer 1

【答案】（）．（）见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)先设双曲线方程为:,根据题意可得关于a、b的方程组,解可得答案.

(Ⅱ)根据题意,易得、、, 设，,易得向量，,又由共线向量的坐标运算,可得M的坐标,进而可得N的坐标,由此可得:的坐标,即可得,结合双曲线的方程,代换可得证明.

试题解析：（）依题意可设双曲线方程为：，

则，

∴所求双曲线方程为．

（）、、，

设，，，，

∵、、三点共线，

∴，

∴即，

同理得，

，，

则，

∵，

∴．

∴即（定值）．

点睛;定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.