Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知的方程为，平面内两定点、．当的半径取最小值时：

（1）求出此时的值，并写出的标准方程；

（2）在轴上是否存在异于点的另外一个点，使得对于上任意一点，总有为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由；

（3）在第（2）问的条件下，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）,（2）点F的坐标为,定值为2（3）

【解析】分析：（1）运用配方和二次函数的最值求法，即可得到所求圆的方程；（2）设P（x，y），定点F（m，0）（m为常数），运用两点的距离公式，化简整理，再由恒等式的性质，即可得到定点F的坐标和的定值；（3）由上问可知对于⊙C上任意一点P总有，可得||PG|﹣|PF||≤|FG|（当P、F、G三点共线时取等号），又，故2|PG|﹣|PE|∈[﹣5，5]．化简μ的关系式，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围．

详解：

（1）⊙C的标准式为： ，

当时，⊙C的半径取最小值，此时⊙C的标准方程为；

（2）设，定点（m为常数），则．

∵，∴，代入上式，

得： ．

由于λ取值与x无关，∴（舍去）．

此时点F的坐标为， 即；

（3）由上问可知对于⊙C上任意一点P总有，

故，

而（当P、F、G三点共线时取等号），

又，故．

∴

，

令，则，

根据对勾函数的单调性可得： ．