Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是一个矩形，△PAD为正三角形．E和F分别是AB和PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若AB=4，AD=3，PC=5，求三棱锥C-EFB的体积．

Answer 1

分析：（1）要证EF∥平面PAD，需要证面GEF∥面PAD，需要证

GF∥PD GE∥AD

，易得证明思路．
（2）要求三棱锥C-EFB的体积，需要找出三棱锥的高，需要证明FK⊥平面ABCD?FK∥PH且PH⊥平面ABCD?PH⊥AD且PH⊥HC?PH²+CH²=PC²，找出三棱锥的高后，需计算出高FK长度?FK=

1

2

PH?PH=

3

DH?DH=

1

2

AD?AD=3．

解答：解：（1）取DC的中点G，连接EG、FG，
∵F是PC的中点，G是DC的中点，
∴GF是△PCD的中位线，GF∥PD；
∵G是DC的中点，E是AB的中点，
∴GE是矩形ABCD的中位线，GE∥AD；
GE、GF⊆面GEF，GE与GF相交，∴面GEF∥面PAD，
∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAD．

（2）由题意知，在正三角形中，取AD的中点H，
∵△PAD为正三角形，∴PH⊥AD，又∵DH=

1

2

AD=

3

2

，
∴在Rt△PHD中，PH=

3

DH=

3 3

2

，
∵CD=AB=4，DH=

1

2

AD=

3

2

，ABCD是矩形，
∴CH²=(

3

2

)2+4²，又∵PC=5
∴PH²+CH²=(

3 3

2

)2+(

3

2

)2+4²=9+16=25=PC²
∴PH⊥HC，又∵AD、HC⊆平面ABCD且AD∩HC=H，

∴PH⊥平面ABCD，
∵FK是三角形PHC的中位线，∴FK∥PH 
∴FK=

1

2

PH=

3 3

4

，FK⊥平面ABCD，
∴V_C-EFB=

1

3

S_△EBCFK=

1

3

×

1

2

×2×3×

3 3

4

=

3 3

4

点评：本题综合考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积公式等知识点；求棱锥的体积时，重点求高，注意高的找法，本题用了等过三角形的中点和勾股定理找垂直．