Question

如图所示，在四面体P—ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=.F是线段PB上一点,CF=,点E在线段AB上,且EF⊥PB.

(1)证明：PB⊥平面CEF;

(2)求二面角B—CE—F的大小.

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，∵ AC=8,AB=10,BC=6,

∴AC²+BC²=AB²,

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，

同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．

在Rt△PCB中，∵PC=10，BC=6，PB=，CF=，

∴PC·BC=PB·CF，∴PB⊥CF，

又∵EF⊥PB，EF∩CF=F，

∴PB⊥平面CEF.

（2）解：由（1）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC，

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE.

∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB，

∴EF⊥EC，故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角，

∵△PAB和△EFB相似,∵tan∠FEB=cot∠PBA=，

∴二面角B—CE—F的大小为arctan．