Question

11．已知A、B是单位圆O上的点，且点B在第二象限，点C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，若△AOB为正三角形．
（Ⅰ）若设∠COA=θ，求sin2θ的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据A的坐标，利用三角函数的定义可知cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，利用二倍角公式求sin2θ的值；
（Ⅱ）利用角的变换，化简cos∠COB=cos（∠COA+60°）展开，即可求cos∠COB．

解答 解：（1）因为A点的坐标为$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，根据三角函数定义可知cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，…（3）分
∴sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$．…（6）分
（2）因为三角形AOB为正三角形，所以∠AOB=60°，
cos∠COA=$\frac{3}{5}$，sin∠COA=$\frac{4}{5}$，
所以cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos∠COAcos60°-sin∠COAsin60°=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．…（12）分

点评 本题是基础题，考查三角函数的定义，解答变换的技巧，两角和的余弦函数的应用，考查计算能力．