Question

3．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示
（1）求此函数的解析式； 
（2）求函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由图象可得A值，由周期公式可得ω，代点结合角的范围可得φ，可得解析式；
（2）由$0≤x≤\frac{π}{2}$和三角函数的最值可得．

解答 解：（1）由图象可得A=$\frac{2}{3}$，由$\frac{T}{2}$=-$\frac{π}{12}$-（-$\frac{7π}{12}$）=$\frac{π}{2}$可得周期T=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，∴f（x）=$\frac{2}{3}$sin（2x+φ），
∵$f（x）=\frac{2}{3}sin（2x+φ）过点（-\frac{π}{12}，\frac{2}{3}）$，∴$sin（-\frac{π}{6}+φ）=1$
又0＜φ＜π，∴$-\frac{π}{6}＜φ-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，故$φ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，可得$φ=\frac{2π}{3}$，
∴此函数的解析式为：$f（x）=\frac{2}{3}sin（2x+\frac{2π}{3}）$；
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}≤2x+\frac{2π}{3}≤\frac{5π}{3}$，
∴f（x）在$2x+\frac{2π}{3}=\frac{2π}{3}$即x=0时取得最大值$f（0）=\frac{2}{3}sin\frac{2π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
f（x）在$2x+\frac{2π}{3}=\frac{3π}{2}$即$x=\frac{5π}{12}$时取得最小值$f（0）=\frac{2}{3}sin\frac{3π}{2}=-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题．