Question

13．已知数列{a_n}满足a_n＞1，过点（a_n，0）的直线ln与圆x²+y²=1在第一象限相切于点P_n，若记P_n的横坐标为b_n，则$\frac{{a}_{1}{b}_{1}+{a}_{2}{b}_{2}+..+{a}_{n}{b}_{n}}{（{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}）（{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}）}$等于（　　）

• A． 2-2^1-n
• B． 2ⁿ-1
• C． 1
• D． n

Answer 1

分析 设点P_n（b_n，c_n），即有b_n²+c_n²=1，即有切线的斜率，再由两直线垂直的条件，可得a_nb_n=1，n∈N^*，代入所求式子，即可得到所求值．

解答 解：设点P_n（b_n，c_n），即有b_n²+c_n²=1，
则切线的斜率为k_n=$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}-{a}_{n}}$，
由OP_n⊥l_n，可得$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}-{a}_{n}}$•$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=-1，
可得a_nb_n=1，n∈N^*，
则$\frac{{a}_{1}{b}_{1}+{a}_{2}{b}_{2}+..+{a}_{n}{b}_{n}}{（{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}）（{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}）}$=$\frac{1+1+…+1}{（{a}_{1}{b}_{1}）（{a}_{2}{b}_{2}）…（{a}_{n}{b}_{n}）}$=n．
故选：D．

点评 本题考查直线和圆相切的条件，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．