Question

8．已知b＞0，a²+b²+c²+2ab-4a-4b+4=0，则$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$+c的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 a²+b²+c²+2ab-4a-4b+4=0，可得（a+b）²-4（a+b）+4+c²=0，即（a+b-2）²+c²=0，于是a+b=2，c=0．b＞0．再利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a²+b²+c²+2ab-4a-4b+4=0，∴（a+b）²-4（a+b）+4+c²=0，
∴（a+b-2）²+c²=0，
∴a+b=2，c=0．b=2-a＞0．∴a＜2，且a≠0．
∴$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$+c=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$=f（a），
①当0＜a＜2时，f（a）=$\frac{1}{2a}$+$\frac{a}{2-a}$=$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{2-a}$-1，f′（a）=$\frac{2}{（2-a）^{2}}$-$\frac{1}{2{a}^{2}}$=$\frac{3{a}^{2}+4a-4}{2{a}^{2}（2-a）^{2}}$=$\frac{（3a-2）（a+2）}{2{a}^{2}（2-a）^{2}}$，
可知：当a=$\frac{2}{3}$时，f（a）取得最小值，$f（\frac{2}{3}）$=$\frac{5}{4}$．
②当a＜0时，f（a）=$-\frac{1}{2a}$-$\frac{a}{2-a}$=-$\frac{1}{2a}$-$\frac{2}{2-a}$+1，f′（a）=-$\frac{2}{（2-a）^{2}}$+$\frac{1}{2{a}^{2}}$=-$\frac{3{a}^{2}+4a-4}{2{a}^{2}（2-a）^{2}}$=-$\frac{（3a-2）（a+2）}{2{a}^{2}（2-a）^{2}}$，
可知：当a=-2时，f（a）取得最小值，f（-2）=$\frac{3}{4}$．
综上可得：f（a）的最小值为：$\frac{3}{4}$．此时a=-2，b=4，c=0．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了配方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．