Question

18．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＞$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{3}$个单位，再将所得图象的点纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得到g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得g（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）由条件利用函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＞$\frac{π}{2}$）的部分图象，
易知：$\frac{T}{4}=\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}=\frac{π}{4}$，可得：ω=2，
所以，f（x）=sin（2x+φ），由五点法作图可得2•$\frac{π}{3}$+φ=π，
求得$φ=\frac{π}{3}$，所以，$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$．
（2）将f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{3}$个单位，
可得y=sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再将所得图象的点纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，
可得$g（x）=sin（{4x-\frac{π}{3}}）$ 的图象．
则由$4x-\frac{π}{3}∈（{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}）$，
解得：$x∈（{-\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}，\frac{5π}{24}+\frac{kπ}{2}}）$，
所以，g（x）的单调递增区间为$（{-\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}，\frac{5π}{24}+\frac{kπ}{2}}），k∈Z$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．